درسنامه آموزشی فصل اول هندسه (2) کلاس یازدهم ریاضی

درس 1: مفاهیم اولیه و زاویه‌ها در دایره

بازدید8/2 K

تاریخ بروزرسانی1401/07/23

دایره یکی از شکل‌های مهم در هندسه است که در پایه‌های قبل با تعریف و برخی از ویژگی‌های آن آشنا شده‌اید. در ادامه با استفاده از شکل دایره، برخی موارد یادآوری شده است که از قبل با آنها آشنایی دارید.

همان‌طور که می‌دانید تمام نقاطی که روی دایره واقع‌اند از مرکز دایره به یک فاصلهٔ ثابت (اندازهٔ شعاع دایره) هستند. معمولاً دایرهٔ $C$ به مرکز $O$ و شعاع $r$ را به‌صورت $C(O,r)$ نمایش می‌دهیم. با توجه به شکل دایره به سادگی می‌توان نشان داد که:

الف) اگر نقطه‌ای مانند $B$ روی دایره $C(O,r)$ باشد، فاصله آن تا مرکز دایره برابر با شعاع دایره است.
ب) اگر نقطه‌ای مانند $C$ بیرون دایره $C(O,r)$ باشد، فاصله آن تا مرکز دایره بزرگ‌تر از شعاع دایره است.
پ) اگر نقطه‌ای مانند $A$ درون دایره $C(O,r)$ باشد، فاصله آن تا مرکز دایره کوچک‌تر از شعاع دایره است.

اوضاع نسبی خط و دایره

در پایه‌های قبل با اوضاع نسبی خط و دایره تا حدودی آشنا شدید و دیدید که یک خط و یک دایره می‌توانند یک یا دو نقطهٔ اشتراک داشته، و یا هیچ نقطهٔ اشتراکی نداشته باشند.

در حالتی که خط و دایره تنها در یک نقطه مشترک باشند، اصطلاحاً گفته می‌شود خط بر دایره مماس است و در حالتی که خط و دایره دو نقطهٔ اشتراک داشته باشند، خط و دایره را متقاطع می‌نامند. در این حالت خط را نسبت به دایره قاطع می‌نامیم.

یادآوری

اگر خط $d$ و نقطهٔ $A$ غیر واقع بر $d$ داده شده، و نقطهٔ $H$ پای عمودی باشد که از $A$ به $d$ رسم می‌شود، اندازهٔ پاره‌خط $AH$ همان فاصله نقطه $A$ از خط $d$ است و فاصلهٔ نقطهٔ $A$ از دیگر نقاط خط $d$ از این مقدار بزرگ‌تر است $(AB \gt AH)$

اگر $d$ یک خط و $C(O,r)$ یک دایره و نقطهٔ $H$ پای عمودی باشد که از نقطهٔ $O$ به خط $d$ رسم می‌شود، موارد زیر را کامل کنید.

الف) اگر فاصلهٔ خط $d$ از مرکز دایره از شعاع کمتر باشد $(OH \lt r)$، خط و دایره در دو نقطه اشتراک دارند؛ یعنی متقاطع‌اند
ب) اگر فاصلهٔ خط از مرکز دایره با شعاع برابر باشد $(OH = r)$، خط و دایره در یک نقطهٔ اشتراک دارند؛ یعنی مماسند.
پ) اگر فاصلهٔ خط از مرکز دایره از شعاع بزرگ‌تر باشد $(OH \gt r)$، خط و دایره نقطه اشتراک ندارند

1- فرض کنیم خط $d$ بر دایرهٔ $C$ در نقطهٔ $F$ مماس است.

الف) نزدیک‌ترین نقطهٔ خط $d$ به نقطهٔ $O$ کدام است؟ چرا؟
نقطه $F$ نزدیک‌ترین نقطه روی خط نسبت به $O$ است؛ زیرا $F$ تنها نقطه روی خط $d$ است که روی دایره قرار دارد و بقیه نقاط خط $d$ خارج دایره هستند. می‌دانیم که نقاط روی دایره با شعاع دایره برابرند، ولی نقاط خارج دایره، از شعاع بیشترند.

ب) از $O$ به $d$ عمود کنید. این خط عمود، خط $d$ را در کدام نقطه قطع می‌کند؟ چرا؟
نقطه $F$ نزدیک‌ترین نقطه روی خط نسبت به $O$ است؛ زیرا به خلف فرض می‌کنیم که خط عمود در نقطه دیگری مانند $F'$ خط $D$ را قطع کند. آن‌گاه نقطه‌ای مانند $E$ را روی خط $d$ در نظر می‌گیریم، به‌طوری که $FF' = F'E$ در دو مثلث $O\mathop F\limits^\Delta F'$ و $O\mathop F\limits^\Delta E$ داریم:

یعنی نقطه $E$ نیز روی دایره قرار دارد که این با خط مماس $d$ بر دایره $C$ در تناقض است.

پ) نتیجه: اگر $F$ نقطه‌ای روی دایره باشد، شعاع $OF$ و خط مماس بر دایره در نقطهٔ $F$ ........................ .
اگر $F$ نقطه‌ای روی دایره باشد، شعاع $OF$ و خط مماس بر دایره در نقطه $F$ بر هم عمودند. قسمت پ «فعالیت» طریقه رسم خط مماس بر دایره از یک نقطه روی آن است. بهتر است این ترسیم مهم جلوه داده شود.

2- خط $d$ در نقطهٔ $F$ به شعاع $OF$ عمود است. با تعیین وضعیت همهٔ نقاط خط $d$ نسبت به دایرهٔ $C$ نشان دهید این خط با دایره فقط یک نقطهٔ تماس دارد و بنابراین بر دایره مماس است.

فرض کنیم $M$ نقطهٔ دیگری غیر از $F$ روی خط $d$ باشد چون $OM \gt OF$ در نتیجه نقطه $M$ برون دایره $C$ است. بنابراین خط $d$ با دایرهٔ $C$ فقط یک نقطه مشترک دارد. در نتیجه خط $d$ بر دایره مماس است.

3- با توجه به قسمت‌های 1 و 2 اگر نقطه‌ای مانند $F$ روی دایره داده شده باشد، چگونه می‌توانید خطِ مماس بر دایره را در نقطهٔ $F$ رسم کنید؟

بنابراین:

یک خط و یک دایره بر هم مماس‌اند اگر و تنها اگر این خط در نقطۀ تماس با دایره بر شعاع آن نقطه عمود باشد.

زوایای مرکزی، محاطی و ظلی

با تعاریف زوایای مرکزی و محاطی و کمان یک دایره در پایه‌های قبل آشنا شده‌اید. در اینجا به یادآوری برخی مفاهیم می‌پردازیم.

1- شعاع دایره: پاره‌خطی که یک سر آن مرکز دایره و سر دیگر آن نقطه‌ای روی دایره باشد.
2- وتر دایره: پاره‌خطی که دوسر آن روی دایره باشد.
3- قطر دایره: وتری از دایره که از مرکز دایره می‌گذرد.
4- زاویۀ مرکزی: زاویه‌ای است که رأس آن بر مرکز دایره واقع باشد.
5- زاویۀ محاطی: زاویه‌ای است که رأس آن روی دایره و اضلاع آن شامل دو وتر از دایره باشند.
6- کمان: کمان دایره شامل دو نقطه روی دایره و تمام نقاط بین آن دو نقطه است؛ به این ترتیب هر دو نقطه از دایره مانند $A$ و $B$، دو کمان $AB$ را روی دایره مشخص می‌کنند. برای مشخص کردن آنها می‌توان از نقطه‌ای دیگر روی هر کمان استفاده کرد؛ مثلاً در شکل مقابل نقاط $A$ و $B$ دو کمان $ACB$ و $ADB$ را مشخص می‌کنند. معمولاً منظور از $AB$ کمان کوچک‌ترِ مشخص شده توسط $A$ و $B$ است.

7- اندازهٔ کمان، همان اندازهٔ زاویهٔ مرکزی مقابل به آن کمان تعریف می‌شود و واحد آن درجه است.
8- با توجه به شکل به سادگی دیده می‌شود که کمان‌های دایره‌های مختلف می‌توانند اندازه‌های برابر و طول‌های نابرابر داشته باشند.

1- با توجه به اینکه محیط دایره یک کمان به اندازهٔ ${360^ \circ }$ است، خواهیم داشت:

$ \Rightarrow \frac{\alpha }{{360}} = \frac{L}{{2\pi R}} \Rightarrow L = \frac{{\pi R}}{{180}}\alpha $

2- با توجه به شکل، اندازهٔ کمان‌های زیر را بنویسید.

$AB = {60^ \circ }$
$\frac{{60}}{{360}} \times 2\pi .OA = \frac{\pi }{3} \times OA$ طول

${A_1}{B_1} = {60^ \circ }$
$\frac{{60}}{{360}} \times 2\pi .O{A_1} = \frac{\pi }{3} \times O{A_1}$ طول

3- ناحیه‌ای از درون و روی دایره را، که به دو شعاع دایره و آن دایره محدود است یک قطاع دایره می‌نامند. اگر زاویهٔ مرکزی قطاعی از دایرهٔ $C(O,R)$ برحسب درجه مساوی $\alpha $ باشد، نشان دهید طول کمان $AB$ برابر است با: $L = \frac{{\pi R}}{{180}}\alpha $ و مساحت قطاع برابر است با: $S = \frac{{\pi R{}^2\alpha }}{{360}}$

$S = \alpha \times \frac{1}{{360}} \times \pi {R^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{{360}}\alpha $

1- فرض کنید اندازه‌های کمان‌های $AB$ و $CD$ از دایرهٔ $C(O,r)$ با هم برابرند. با تشکیل مثلث‌های $AOB$ و $COD$ نشان دهید وترهای $AB$ و $CD$ نیز باهم برابرند.

$\left. \begin{gathered}
AB = CD \Rightarrow {{\hat O}_1} = {{\hat O}_2} \hfill \\
OA = OC = R \hfill \\
OB = OD = R \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow OAB \cong OCD \to AB = CD$

2- فرض کنید دو وتر $AB$ و $CD$ از یک دایره باهم برابرند. ثابت کنید اندازه‌های کمان‌های $AB$ و $CD$ نیز باهم برابرند.

$\left. \begin{gathered}
AB = CD \hfill \\
OA = OC = R \hfill \\
OB = OD = R \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow OAB \cong OCD \to {\hat O_1} = {\hat O_2} \Rightarrow AB = CD$

3- وتر $AB$ و قطری از دایره، که بر وتر $AB$ عمود است، مانند شکل زیر داده شده است. با تشکیل مثلث‌های $AOH$ و $BOH$ ثابت کنید قطر $CD$ وتر $AB$ و کمان $AB$ را نصف می‌کند.

$\left. \begin{gathered}
OA = OB = R \hfill \\
{H_1} = {H_2} = {90^ \circ } \hfill \\
OH = OH \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow O\mathop A\limits^\Delta H \cong O\mathop B\limits^\Delta H \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
AH = BH \hfill \\
{{\hat O}_1} = {{\hat O}_2} \to AD = BD \hfill \\
\end{gathered} \right.$

4- این بار فرض کنید قطر $CD$ وتر $AB$ را نصف کرده است و نشان دهید $CD$ بر $AB$ عمود است و کمان $AB$ را نصف می‌کند.

$\left. \begin{gathered}
OA = OB = R \hfill \\
AH = BH \hfill \\
OH = OH \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow O\mathop A\limits^\Delta H \cong O\mathop B\limits^\Delta H \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{H_1} = {H_2} = {90^ \circ } \hfill \\
{{\hat O}_1} = {{\hat O}_2} \to AD = BD \hfill \\
\end{gathered} \right.$

5- حال فرض کنید قطر $CD$ کمان $AB$ را نصف کرده است. نشان دهید $CD$ بر $AB$ عمود است و آن را نصف می‌کند.

$\left. \begin{gathered}
OA = OB = R \hfill \\
AD = BD \to {{\hat O}_1} = {{\hat O}_2} \hfill \\
OH = OH \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow O\mathop A\limits^\Delta H \cong O\mathop B\limits^\Delta H \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{H_1} = {H_2} = {90^ \circ } \hfill \\
AH = BH \hfill \\
\end{gathered} \right.$

6- اگر نقاط وسط وتر $AB$ و کمان $AB$ را داشته باشیم، چگونه می‌توانیم قطر عمود بر وتر $AB$ را رسم کنیم؟

اگر وسط کمان را $M$ و وسط وتر را $H$ بنامیم کافی است این دو نقطه را به هم وصل کنیم و از سمت $H$ امتداد دهیم تا دایره را در نقطهٔ $N$ قطع کند. با توجه به 4 و 5 $MN$ قطر عمود بر این وتر است.

1- در شکل زیر $\widehat {ADB}$ یک زاویهٔ محاطی است که یک ضلع آن از مرکز دایره عبور کرده است.

- اگر از $B$ به $O$ وصل کنیم، زاویهٔ $AOB$ یک زاویهٔ خارجی برای مثلث $OBD$ است.

بنابراین: $ = 2\widehat {ODB}$$\underline {\widehat {OBD}} $$ = \widehat {ODB} + $$\widehat {AOB}$ و از آن نتیجه می‌شود:

$\widehat {AB}$$\widehat {ODB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}$

2- در شکل زیر $\widehat {ADB}$ یک زاویهٔ محاطی است که دو ضلع آن در دو طرف $O$ واقع شده‌اند.

- اگر قطر $DE$ را رسم کنیم، طبق قسمت 1 داریم:

$\left. \begin{gathered}
\widehat {ADE} = \frac{1}{2}{AE} \hfill \\
\widehat {EDB} = \frac{1}{2}{BE} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \widehat {ADB} = \frac{1}{2}AE + \frac{1}{2}BE = \frac{1}{2}AB$

3- در شکل زیر $\widehat {ADB}$ یک زاویهٔ محاطی است که دو ضلع آن در یک طرف $O$ واقع شده‌اند.

- اگر قطر $DE$ را رسم کنیم، طبق قسمت 1 داریم:

$\left. \begin{gathered}
\widehat {ADE} = \frac{1}{2} {AE} \hfill \\
\widehat {BDE} = \frac{1}{2} {BE} \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \widehat {ADB} = \frac{1}{2}AE - \frac{1}{2}BE = \frac{1}{2}AB$

بنابراین:

قضیه: اندازۀ هر زاویۀ محاطی برابر است با نصف اندازۀ کمان مقابل به آن زاویه.

زاویۀ ظلی

نوع دیگری از زاویه، که در دایره مطرح است، زاویهٔ ظلی است. زاویهٔ ظلی زاویه‌ای است که رأس آن روی دایره قرار دارد و یکی از اضلاع آن مماس بر دایره وضلع دیگر آن شامل وتری از دایره باشد. در شکل مقابل $B\hat AC$ یک زاویهٔ ظلی است.

1- زاویهٔ ظلی $\widehat {CAB}$ را درنظر بگیرید و قطری از دایره را رسم کنید که شامل نقطهٔ $A$ isj.

الف) $D\hat AC = {90^ \circ }$ و بنابراین: $D\hat AC = \frac{1}{2}ABD$

ب) زاویهٔ $DAB$ یک زاویهٔ محاطی است. بنابراین: $D\hat AB = \frac{1}{2}DB$

پ) از (الف) و (ب) داریم: $D\hat AC - D\hat AB = \frac{1}{2}(DBA - DB)$
و بنابراین $B\hat AC = \frac{1}{2}AB$

ت) نشان دهید نتیجه قسمت (پ) برای یک زاویه ظلی منفرجه نیز برقرار است.

$D\hat AC = {90^ \circ } \to D\hat AC = \frac{1}{2}DA$

بنابراین:

قضیه: اندازۀ هر زاویۀ ظلی برابر است با نصف کمان روبه‌رو به آن زاویه.

1- در شکل زیر وترهای $AB$ و $CD$ موازی هستند.

الف) از $A$ به $D$ وصل کنید. زوایای $BAD$ و $ADC$ نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟
این دو زاویه بنا بر قضیه خطوط موازی با هم برابر هستند.

ب) کمان‌های $BD$ و $AC$ نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟
این دو کمان روبه‌ زوایای محاطی برابر هستند، پس با یکدیگر برابرند.

2- در شکل زیر کمان‌های $EG$ و $FH$ هم‌اندازه‌اند.

الف) وترهای $EF$ و $GH$ و پاره‌خط $EH$ را رسم کنید.
ب) زوایای $FEH$ و $EHG$ نسبت به هم چگونه‌اند؟ چرا؟

$EG = FH \Rightarrow \frac{{EG}}{2} = \frac{{FH}}{2} \to \widehat {EHG} = \widehat {FEH}$

پ) وترهای $EF$ و $GH$ نسب به هم چگونه‌اند؟ چرا؟
با هم موازی هستند بنا برعکس قضیه خطوط موازی

نتیجه
دو وتر که یکدیگر را درون دایره قطع نمی‌کنند با هم موازی‌اند، اگر و تنها اگر کمان‌های محدود بین آنها مساوی باشد.

تاکنون زاویه‌هایی را بررسی کردیم که رأس آنها روی دایره باشد و رابطهٔ اندازه این زاویه‌ها را با اندازهٔ کمان‌های ایجاد شده توسط آنها مشخص کردیم. حال به بررسی این موضوع برای زاویه‌هایی می‌پردازیم که رأس آنها درون یا بیرون دایره است و اضلاعشان کمان‌هایی روی دایره جدا می‌کنند.

1- فرض کنید رأس زاویهٔ $DAE$ مانند شکل زیر بیرون دایره واقع شده، و کمان‌های $DE$ و $BC$ توسط اضلاع زاویهٔ موردنظر مشخص شده باشد.

الف) از نقطهٔ $C$ خطی موازی خط $BD$ رسم کنید تا دایره را در نقطه‌ای مانند $F$ قطع کند. علت هرکدام از تساوی های زیر را مشخص کنید.

$CF||AD$ و $AE$ مورب بنا بر قضیه خطوط موازی $D\hat AE = F\hat CE$
زاویه $F\hat CE$ محاطی است پس نصف کمان مقابل است یعنی $F\hat CE = \frac{1}{2}EF$.
باتوجه به شکل $F\hat CE = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2}(DE - BC)$
بنا بر فعالیت قبل بند (1) می‌دانیم $BC = DF$
پس داریم:

$D\hat AE = F\hat CE = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2}(DE - BC) = \frac{1}{2}(DE - BC)$

ب) از $C$ به $D$ وصل کنید و به کمک زاویه خارجی در مثلث $ACD$ رابطهٔ فوق را اثبات کنید.

2- رأس زاویهٔ $DAE$ مانند شکل درون دایره است و اضلاع این زاویه کمان‌های $BC$ و $DE$ را مشخص کرده‌اند.

الف) از نقطهٔ $B$ خطی موازی خط $DC$ رسم کنید تا دایره را در نقطه‌ای مانند $F$ قطع کند. علت هرکدام از تساوی‌های زیر را مشخص کنید.

$BF||DC$ و $BE$ مورب بنا بر قضیه خطوط موازی $D\hat AE = F\hat BE$
زاویه $F\hat BE$ محاطی است پس نصف کمان مقابل است یعنی $F\hat BE = \frac{1}{2}EF$
با توجه به شکل: $F\hat BE = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2}(FD + DE)$
بنا بر فعالیت قبل بند (1) می‌دانیم: $BC = DF$
پس داریم: $D\hat AE = F\hat BE = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2}(FD + DE) = \frac{1}{2}(BC + DE)$

ب) از $B$ به $D$ وصل کنید و به کمک زاویه خارجی مثلث $ABD$ رابطهٔ فوق را اثبات کنید.

1- در شکل‌های زیر ثابت کنید:
راهنمایی: از نقطهٔ $B$ خطی موازی ضلع دیگر زاویه رسم کنید.

الف) ${d_1}||{d_2}$ ثابت کنید $AC = AD$

از نقطه $B$ موازی $MA$ رسم می‌کنیم. $MB\backslash \hat M = {\hat B_1}$ و $MA||BB'$
$MA||BB'$ پس $AB' = ADB$

زاویه ${B_1}$ یک زاویه ظلی است و اندازه آن برابر است با ${\hat B_1} = \frac{{BB'}}{2}$

${\hat B_1} = \frac{{ACB - AB'}}{2} = \frac{{ACB}}{2} - \frac{{AB'}}{2} = \frac{{ACB}}{2} - \frac{{ADB}}{2} = \frac{{ACB - ADB}}{2}$

ب) $\hat M = \frac{{ACB - ADB}}{2}$

بنا برقضیه خطوط موازی $\widehat {CMB} = \widehat {EBF}$

$\widehat {CMB} = \widehat {EBF} = \frac{{EB}}{2} = \frac{{BC - CE}}{2}\xrightarrow{{CE = AB}}\widehat {CMB} = \widehat {EBF} = \frac{{BC - AB}}{2}$

پ) $\hat M = \frac{{BC - AB}}{2}$

2- در شکل زیر اندازهٔ زاویهٔ $\alpha $ را به‌دست آورید.

$31 = \frac{{y - x}}{2} \to y - x = 62$

$\eqalign{
& 9 = \frac{{y + x}}{2} \to \underline {y + x = 182} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 60\,\,,\,\,y = 122 \cr} $

$\alpha = \frac{x}{2} = 30$

3- در شکل اضلاع زاویه‌های $B$ و $C$ بر دایره مماس‌اند. اندازهٔ زاویهٔ $\hat A$ چند درجه است؟

$MN = x\,\,\,,\,\,\,\hat C = \frac{{MQN - MN}}{2} = \frac{{(360 - x) - x}}{2} = 70 \Rightarrow x = 110$

$QP = y\,\,,\,\,\hat B = \frac{{QMP - QP}}{2} = \frac{{(360 - y) - y}}{2} = 80 \Rightarrow y = 100$

$\hat A = \frac{{QM - PN}}{2} = \frac{{360 - (x + y)}}{2} = \frac{{360 - (110 + 100)}}{2} = 75$

4- در دایره رسم شده شکل زیر $CD||AB$، اندازه کمان $CD$ را به‌دست آورید.

شعاع $CO$ را ادامه می‌دهیم تا دایره را در نقطه $E$ قطع کند.

$CD||AB \to CA = DB$

$CD||AB\,\,,\,\,\,CE\,\,\,\,\,\,\,\, \to \hat C = \hat O$

زاویه $O$ یک زاویه مرکزی است و اندازه آن چنین است: $C\,.\,\hat O = BE$ یک زاویه محاطی است و اندازه آن چنین است: $\hat C = \frac{{DE}}{2}$ بنابراین $CA = DB = BE$

$CD = 180 - 100 = 80$ و $DB = 50$ و $75 = \frac{{CA + DE}}{2} = \frac{{3CA}}{2} \Rightarrow CA = 50$

5- در شکل زیر، $AB$ قطری از دایره است و وترهای $AC$ و $BD$ موازی‌اند. ثابت کنید: $AC = BD$

$AB$ قطر دایره است؛ بنابراین $ACB = ADB\,\,\,\,(1)$ . از طرفی $AC||BD$ . پس وترهای محصور به این دو وتر موازی، مساوی هستند؛ یعنی: $AD = CD\,\,(2)$

طرفین رابطه 1 را از طرفین رابطه 2 کم می‌کنیم.

$ACB - CB = ADB - AD \Rightarrow AC = DB$

اگر دو کمان برابر باشند، وترهای نظیر به آن دو کمان برابرند؛ یعنی: $AC = DB$.

6- دایرهٔ $C(O,R)$ مفروض است. از نقطهٔ $M$ در خارج دایره خطی چنان رسم کرده‌ایم که دایره را در دو نقطهٔ $A$ و $B$ قطع کرده است و $MA = R$؛ نشان دهید: $\beta = 3\alpha $

مثلث $AMO$ و $ABO$ متساوی‌الساقین هستند.

$OA = AM = R \to A\hat OM = \alpha $

از طرفی $B\hat AO$ زاویه خارجی مثلث $AOM$ است؛ پس $B\hat AO = A\hat OM + \alpha = 2\alpha $

مثلث $ABO$ متساوی‌الساقین است. $BO = AO$ در نتیجه $M\hat BO = B\hat AO = 2\alpha $

زاویه $\beta $ زاویه خارجی مثلث $BMO$ است؛ پس $\beta = A\hat BO + \hat \alpha = 3\alpha $

7- در دایرهٔ $C(O,R)$ ، $AB = {60^ \circ }$ و $AB = 10$ فاصلهٔ $O$ از وتر $AB$ را به‌دست آورید.

در مثلث $OHB$ زاویه ${\hat O_1} = 30$ پس $HB = \frac{1}{2}OB = \frac{1}{2}R$ پس $R = 2H = 10$

$O{H^2} = O{B^2} - H{B^2} = 100 - 25 = 75$

$OH = 5\sqrt 3 $

8- در دایرهٔ $C(O,R)$ نشان دهید $AB \gt CD$ اگر و تنها اگر $OH \lt OH'$ ($OH$ و $OH'$ فاصلهٔ $O$ از دو وتر $AB$ و $CD$ هستند.)
راهنمایی: از $O$ به $B$ و $C$ وصل، و از قضیهٔ فیثاغورس استفاده کنید.

$HB = \frac{1}{2}AB\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,H'D = \frac{1}{2}CD$

$AB \gt CD \to \frac{1}{2}AB \gt \frac{1}{2}CD \to HB \gt H'D$

$ \Leftrightarrow H{B^2} \gt H'{O^2} \leftrightarrow H{B^2} - H'{O^2} \gt 0\,\,:(1)$

در مثلث‌های قائم‌الزاویه $OHB$ و $ODH'$ بنا به رابطه فیثاغورس داریم:

$\eqalign{
& O{H^2} + H{B^2} = O{B^2} \cr
& O{{H'}^2} + H'{D^2} = O{D^2} \cr} $

$ \Leftrightarrow O{H^2} + H{B^2} = O{H'^2} + H'{D^2}$

$ \Leftrightarrow H{B^2} - H'{D^2} = O{H'^2} - O{H^2}$

بنا به رابطه 1 سمت چپ تساوی فوق مثبت است پس سمت راست تساوی هم مثبت است یعنی

$O{H'^2} - O{H^2} \gt 0 \Leftrightarrow O{H'^2} \gt O{H^2} \Leftrightarrow OH' \gt OH$

درسنامه آموزشی فصل اول هندسه (2) کلاس یازدهم ریاضی

درس 1: مفاهیم اولیه و زاویه‌ها در دایره

اوضاع نسبی خط و دایره

فعالیت (صفحه 11 کتاب درسی)

زوایای مرکزی، محاطی و ظلی

کار در کلاس (صفحه 12 کتاب درسی)

فعالیت (صفحه 13 کتاب درسی)

فعالیت (صفحه 13 تا 14 کتاب درسی)

زاویۀ ظلی

فعالیت (صفحه 14 تا 15 کتاب درسی)

کار در کلاس (صفحه 15 کتاب درسی)

فعالیت (صفحه 15 تا 16 کتاب درسی)

تمرین (صفحه 16 تا 17 کتاب درسی)